1 – مثال :
(d1) و (d2) مستقيمان متوازيان .
(l1) و (l2) مستقيمان متوازيان يقطعان (d1) و (d2) على التوالي في : A و b و c و d .


متـــوازي الأضــــــلاع Image002



نسمي الرباعي abcd متوازي الأضلاع
(2 – تعريف :

متوازي الأضلاع هو رباعي حاملا كل ضلعين متقابلين فيه متوازيين
خصائــص :
(1 – خاصية القطريين :
أ( - الخاصية المباشرة :

abcd متوازي الأضلاع قطراه يتقاطعان في o .

متـــوازي الأضــــــلاع Image004

نلاحظ أن o منتصف القطريين [ac] و [bd] .
نقــول إذن :

إذا كان رباعي متوازي الأضلاع فإن لقطريه نفس المنتصف
* ملاحظة هامة : نسمي نقطة تقاطع قطري متوازي الأضلاع مركزه .
ب( - الخاصية العكسية :
a و b و c و d نقط بحيث [ac] و [bd] لهما نفس المنتصف o و حاملاهما غير متعامدين :

متـــوازي الأضــــــلاع Image006
لنبرهن أن الرباعي abcd متوازي الأضلاع .
من أجل هذا سنبرهن أن (ab) يوازي (cd) و أن (ad) يوازي (bc) :
نعلم أن o منتصف [ac] و [bd] إذن :
a و c متماثلتين بالنسبة للنقطة o .
b و d متماثلتين بالنسبة للنقطة o .
إذن : المستقيمين (ab) و (cd) متماثلين بالنسبة للنقطة o و كذلك المستقيمين (ad) و (bc) .
و منه فإن (ab) // (cd) و (ad) //(bc)
و بالتالي فإن abcd متوازي الأضلاع ) حسب التعريف ( مركزه النقطة o .


نقــول إذن :


إذا كان رباعي قطراه لهما نفس المنتصف فإنه يكون متوازي الأضلاع
* تمرين تطبيقي :
abc مثلث و i منتصف [ac] .
(1 – أنشئ d مماثلة b بالنسبة للنقطة i .
(2 – أثبت أن الرباعي abcd متوازي الأضــلاع .
الحــــل :
(1 – الشكـــــل :

متـــوازي الأضــــــلاع Image008
(2 – لنثبت أن الرباعي abcd متوازي الأضـــلاع :
نعلم أن :
i منتصف [ac](1) .
و لدينا d مماثلة b بالنسبة للنقطة i .
إذن : i منتصف [bd] . (2)
من (1)و(2) نستنتج أن الرباعي abcd متوازي الأضـــلاع .) حسب الخاصية العكسية للقطرين ( .
2 – خاصية الأضلاع المتقابلة :
أ( - الخاصية المباشرة :
abcd متوازي الأضلاع مركزه o .
لنبين : Ab = cd و ad = bc

متـــوازي الأضــــــلاع Image009
نعلم أن o مركز متوازي الأضلاع abcd .
إذن o منتصف القطرين [ac] و[bd] .
و منه نستنتج أن : A و c متماثلتين بالنسبة للنقطة o و كذلك b و d .
و بالتالي فإن : Ab = cd و ad = bc ) حسب خاصية الحفاظ على المسافة بين نقطتين( .
نقــول إذن :

إذا كان رباعي متوازي الأضلاع فإن كل ضلعين متقابلين فيه متقايسان
ب( - الخاصية العكسية :

إذا كان لرباعي كل ضلعين متقابلين فيه متقايسان فإنه يكون متوازي الأضلاع
(3 – خاصية الزوايا المتقابلة :
أ( - الخاصية المباشرة :
abcd متوازي الأضلاع مركزه o .
لنبين أن متـــوازي الأضــــــلاع Image011و أن متـــوازي الأضــــــلاع Image013.

متـــوازي الأضــــــلاع Image014
نعلم أن abcd متوازي الأضلاع مركزه o .
إذن : O منتصف القطرين [ac] و [bd] .
و منه فإن : A و c متماثلتين بالنسبة للنقطة o و كذلك b و d .
إذن الزاويتان متـــوازي الأضــــــلاع Image016 و متـــوازي الأضــــــلاع Image018 متماثلتان بالنسبة للنقطة o
و كذلك الزاويتين متـــوازي الأضــــــلاع Image020 و متـــوازي الأضــــــلاع Image022
و بالتالي فإن : متـــوازي الأضــــــلاع Image024و متـــوازي الأضــــــلاع Image026
نقــول إذن :

إذا كان رباعي متوازي الأضلاع فإن كل زاويتين متقابلتين فيه متقايستان
ب( - الخاصية العكسية :

إذا كان لرباعي كل زاويتين متقاباتين فيه متقايستان فإنه يكون متوازي الأضلاع
4 – ارتفاع متوازي الأضـــلاع :
abcd متوازي الأضلاع و h المسقط العمودي للنقطة a على المستقيم (cd) .

متـــوازي الأضــــــلاع Image028

نسمي ah ارتتفاع متوازي الأضلاع abcd .
(5 – خاصية إضــافية :

إذا كان لرباعي ضلعان متقابلان و حاملاهما متوازيين فإنه يكون متوازي الأضـــلاع