الترتيب في IR

http://arabmaths.ift.fr 1 Moustaouli Mohamed
الترتيب في IR
القدرات المنتظرة
*- التمكن من مختلف تقنيات مقارنة عددين (أو تعبيرين) واستعمال المناسب منها حسب
الوضعية المدروسة.
*- تمثيل مختلف العلاقات المرتبطة بالترتيب على المستقيم العددي.
*- إدراك وتحديد تقريب عدد (أو تعبير) بدقة معلومة. إنجاز إآبارات أو إصغارات لتعابير جبرية.
*- استعمال المحسبة لتحديد قيم مقربة لعدد حقيقي.
الترتيب و العمليات -I
-1 أنشطة
تمرين 1
2a و a2 + عددا حقيقيا قارن 1 a ليكن
تمرين 1
−1≤b≤4 ; −2≤a≤ عددين حقيقيين بحيث 3 b و a ليكن
−41≤a2−b2+3a−5b+1≤ بين أن 24
تمرين 2
1 و 3 3 + قارن 3 2
تمرين 3
x ∈ 􀁜*+ ليكن
أ- بين أن 2
2
1 1
1
x x
x x
+ − =
+ +
ب- قارن 1
2x
x 2 +1 − x و
تمرين 4
a≠b عددين حقيقيين سالبين قطعا حيث b و a ليكن
a قارن 1
b
1 b − و
a
−
-2 تعريف و خاصيات
أ تعريف
عددين حقيقيين b و a ليكن
a−b≥ يعني 0 a≥b
a−b≤ يعني 0 a≤b
ب- خاصيات و نتائج
أعداد حقيقية d و c و b و a ليكن
a≥c فان b≥c و a≥b إذا آان
a+c≥b+c فان a≥b إذا آان
a+c≥b+d فان c≥d و a≥b إذا آان
ac ≥ bc فان c ≥ و 0 a≥b إذا آان
ac ≤ bc فان c ≤ و 0 a≥b إذا آان
a2≥b فان 2 a≥b≥ إذا آان 0
a2≤b 0 فان 2 ≥a≥b إذا آان
a≤ b 0 تكافئ ≤a≤b
فان 1 1 a≤b عددين غير منعدمين و لهما نفس لإشارة و آان b و a إذا آان
a b
≥
http://arabmaths.ift.fr 2 Moustaouli Mohamed
نبين نتيجة الأخيرة
ab 􀀻 عددين غير منعدمين و لهما نفس لإشارة ومنه 0 b و a
1 1 b a لدينا
a b ab
−
− =
b a و بالتالي 0 b−a≥ فان 0 a≤b و حيث أن
ab
−
≤ اذن 1 1
a b
≥
المجالات -II
IR -1 مجالات المجموعة
a≺b حيث (a;b)∈ 􀁜 ليكن 2
مجموعة الاعداد
حيث: ترميزها قراءة و تمثيل على المستقيم X الحقيقية
[a;b] a≤x≤b
b و a يقرأ المجال المغلق الذي طرفاه
]a;b[ a≺x≺b
b و a يقرأ المجال المفتوح الذي طرفاه
[a;b[ a≤x≺b
b و a يقرأ المجال المفتوح على اليمين الذي طرفاه
]a;b] a≺x≤b
b و a يقرأ المجال المفتوح على اليسار الذي طرفاه
[a;+∞[ a≤x
a زائد ما لانهاية مغلق في a يقرأ المجال
]a;+∞[ a≺x
a زائد ما لانهاية مفتوح في a يقرأ المجال
]−∞,b] x ≤ b
b مغلق في b ، يقرأ المجال ناقص لانهاية
]−∞;b[ x ≺ b
b مفتوح في b ، يقرأ المجال ناقص لانهاية
أمثلة
[−1;4]={x∈􀁜 /−1≤x≤ 4} *
1 [ 1;4] −2∉[−1;4]
2
−
3∈[−1;4] ∈ −
]−∞;2[={x∈􀁜/x≺ 2} *
−2∈]−∞;2[ π ∉ ]−∞;2[ 2∉]−∞;2[
http://arabmaths.ift.fr 3 Moustaouli Mohamed
القيمة المطلقة -III
-1 القيمة و المطلقة
تعريف
مستقيما مدرجا Δ(O;I) ليكن
x التي أفصولها M هي المسافة بين النقطة x القيمة المطلقة لكل عدد حقيقي
OM = x نكتب x ب x نرمز للقيمة المطلقة للعدد .O و النقطة
x ∈ 􀁜 ليكن
x = x فان x ≥ إذا آان 0
x = −x فان x ≤ إذا آان 0
أمثلة
2−π =π −2 ; 3 −1 = 3 −1 ; −12 =12 ; 2 = 2
تمرين
( ) 1 و 2 − حدد 2
( ) 4− 15 و 2
2− 5
خاصيات (c
x = −x إذن OM = ON
x 2 = x2 ، x = −x ، −x ≤ x ، x ≤ x ، x ≥ 0 x ∈ 􀁜 *- لكل
􀁜 من + a و 􀁜 من y و x *- ليكن
x = تكافئ 0 x = 0 􀀹
x = −a أو x = a تكافئ x = a 􀀹
. x = −y أو x = y تكافئ x = y 􀀹
0 ; 􀀹
y x x xy x y
y y
≠ = =
−a≤x ≤a تكافئ x ≤ a 􀀹
x +y ≤x +y 􀀹
بين نتيجتين الأخيرتين
http://arabmaths.ift.fr 4 Moustaouli Mohamed
تمارين
تمرين 1
x ∈ 􀁜 ليكن
-1 أآتب التعابير التالية بدون استعمال القيمة المطلقة
x−2+x+3 ، 3 − x ، 2x −1
􀁜 من x لكل x−5+x+1≠ -2 بين بدون حدف رمز القيمة المطلقة أن 4
تمرين 2
x ∈ 􀁜 ليكن
x2−1≺10− فان 2 x −1≺10− بين إذا آان 3
-2 المسافة بين نقطتين و القيمة المطلقة
خاصية
Δ(O;I) نقطتين على مستقيم مدرج B(b) و A(a) ليكن
AB=b−a
تعريف
على مستقيم مدرج ، تسمى أيضا B(b) و A(a) لنقطتين b−a المسافة
b و a المسافة بين العددين
أمثلة
التي مسافتها عن 3 هي 5 x * لنحدد الأعداد
x−2=x+ حيث 5 M ( x) النقطة Δ(O;I) * حدد هندسيا على المستقيم المدرج
-3 مرآز و سعة وشعاع مجال
(a;b)∈ 􀁜 ليكن 2
B (b) ; A(a) نعتبر Δ(O;I) على المستقيم المدرج
b−a هو [A;B] طول
هو [A;B ] منتصف I أفصول
2
a+b
2
b a
IA IB
−
= =
تعريف
(a;b) ∈ 􀁜 ليكن 2
هو b و a مرآز مجال طرفاه
2
a+b
b−a هو b و a سعة مجال طرفاه
هو b و a شعاع مجال طرفاه
2
b−a
http://arabmaths.ift.fr 5 Moustaouli Mohamed
تمرين
]− -1 حدد مرآز وشعاع [ 3;5
-2 حدد مجالا مفتوحا مرآزه 2- وشعاعه 3
-3 حدد مجالا مغلقا مرآزه 1 و أحد طرفيه 3
2
−
-4 القيمة المطلقة والمجالات
مبرهنة
r ∈ 􀁜*+ و 􀁜 من a و x ليكن
a−r ≤x ≤a+r تكافئ x −a ≤r
[a−r;a+r]={x ∈􀁜/x −a ≤r}
r و شعاعه a مجال مغلق مرآزه
نتيجة
r ∈ 􀁜*+ و 􀁜 من a و x ليكن
a−r≺x ≺a+r تكافئ x −a≺r
]a−r;a+r[={x ∈􀁜/x −a≺r}
r و شعاعه a مجال مفتوح مرآزه
نتيجة
r ∈ 􀁜*+ و 􀁜 من a و x ليكن
x ≤a−r أو x ≥a+r تكافئ x −a ≥r
{x∈ 􀁜/x−a≥r} = ]−∞;a−r]∪[a+r;+∞[
تمرين
حدد المجموعات التالية
C={x∈􀁜/x−1≥ و {2 B={x∈􀁜/x+4≺ و {7 A= {x∈􀁜/x−3≤2}
التأطير و التقريب -IV
التأطير (A
-1 أنشطة
10 يحتوي على 2 − أ- حدد مجالا مفتوحا سعته 2
3
1, 41≺ 2 ≺ ب- علما أن 1, 42
7⋅10− حدد مجالا مغلقا يحتوي على 3 2 − سعته 2
http://arabmaths.ift.fr 6 Moustaouli Mohamed
-2 تعريف
a≺b حيث (a;b)∈ 􀁜 ليكن 2
تسمى a≺x ≺b و a≤x ≺b و a≺x ≤b و a≤x ≤b آل متفاوتة من المتفاوتات المزدوجة
b−a سعته x تأطيرا للعدد
أمثلة
0 2 1
3
≻ ≻ تأطير للعدد 2
3
سعته 1
0,666 2 0,667
3
≻ ≻ تأطير للعدد 2
3
10− سعته 3
تمارين
تمرين 1
x2 3x 2 أطر 1 5 ≺y≺4 ; −3≺x≺ -1 ليكن 5
y
+ − −
x≺1 ; y≺ -2 ليكن 1
أ- أطر 1
x+y+xy+4
(x+1)(y+ أنشر (1 . (x+1)(y+ ب- أطر (1
استنتج تأطيرا للعدد 1
x+y+xy+4
تمرين 2
-1 لنحدد تأطيرا للعدد 2 2
3
1, 41≺ 2 ≺ 7 علما أن 1, 42 ⋅10− سعته 3
1,53≺x≺1,54 , −0,01≺y≺ -2 نعتبر 0,02
حدد تأطيرا للعدد xy 2 6 10− سعته
⋅
تمرين 3
1,2≺x≺1, 4 , 0, 2≺y≺ ليكن 0,4
y حدد تأطيرا للعدد
x
سعته 0,20
التقريب (B
-1 تعريف
x تأطيرا للعدد a≺x ≺b أ و a≤x ≺b أ و a≺x ≤b أ و a≤x ≤b ليكن
b−a سعته
بتفريط b−a إلى x يسمى تقريب للعدد a العدد
بإفراط b−a إلى x يسمى تقريب للعدد b العدد
أمثلة
3,14≺π ≺ لدينا 3,15
10 بتفريط − إلى 2 π العدد 3,14 تقريب للعدد
10 بإفراط − إلى 2 π العدد 3,15 تقريب للعدد
http://arabmaths.ift.fr 7 Moustaouli Mohamed
خاصية
عددا حقيقيا موجب قطعا a عددين حقيقين و x و a ليكن
a−r≤x ≤a بإفراط إذا وفقط إذا آان r إلى x تقريب للعدد a العدد
a≤x ≤a+r بتفريط إذا وفقط إذا آان r إلى x تقريب للعدد a العدد
تمرين لنحدد تقريبات للعدد 22
3
10 بإفراط − إلى 3
تمرين ليكن 1 5
2
x +
=
10 بتفريط − إلى 3 x 10 بتفريط فأعط تقريب للعدد − إذا علمت أن 2,236 تقريب للعدد 5 إلى 3
ثم بإفراط
-2 قيمة مقربة
تعريف
عددا حقيقيا موجبا r عددا حقيقيا و x ليكن
r إلى x يسمى قيمة مقربة ( أو تقريبا) للعدد x −a ≤r يحقق a آل عدد حقيقي
( r ( أو بالدقة
أمثلة
22 3,14 0,003
7
≥ − إذن 3,14 تقريب للعدد 22
7
3⋅10− إلى 3
خاصية
x ∈[a,b] ليكن
b−a إلى x تقريب للعدد [a,b] من α آل عدد
ملاحظة
فان x ∈[a,b] إذا آان
2
إلى x تقريب للعدد a+b
2
b−a
مثال
1, 41≺ 2 ≺1, 42
العدد 1,415 تقريب للعدد 2 الى 0,005
تمرين
لنبين أن 0,14 − تقريب للعدد 1
7
5⋅10− − بالدقة 3
http://arabmaths.ift.fr 8 Moustaouli Mohamed
-3 التقريبات العشرية
أ- استعمال المحسبة لتحديد تقريبات عشرية
................................................................
ب-التقريب العشري
عددا صحيحا طبيعيا n عددا حقيقيا و x ليكن
10−np≤x≺ 10−n(p+ حيث ( 1 p نقبل انه يوجد عدد صحيح نسبي و حيد
( n 10− ( أو من الرتبة n بتفريط إلى x 10− تقريب العشري للعدد n p العدد
( n 10− ( أو من الرتبة n بإفراط إلى x 10− تقريب العشري للعدد n (p + العدد ( 1
اصطلاح:
x للعدد n من الرتبة (arrondi) يسمى الجبر x الأآثر قربا من العدد n التقريب العشري من الرتبة
مثال لدينا 666 103 2 667 103
3
⋅ − ≺ ≺ ⋅ −
العدد 0,666 تقريب العشري للعدد 2
3
من الرتبة 3 بتفريط
العدد 0,667 تقريب العشري للعدد 2
3
من الرتبة 3 بإفراط
نلاحظ أن 2 0,666 0,002 ; 0,667 2 0,001
3 3 3 3
− = − =
0,667 الجبر للعدد 2
3
من الرتبة 3
تمرين
−0,31≺ y ≺− من الرتبة 2 بتفريط و 0,25 x 1, 24 التقريب العشري للعدد
y أطر
x
تأطيرا سعته 0,05

لتفاصيل أكتر أدخل الى :www.achamel.net

chokran 3la lmawdo3 lmofid

l3afou kantmna icono stafdo mno

chokran